ÖNSÖZ
Bu kitap, üniversitelerimizin Matematik Bölümlerinde okutulan Sayılar Teorisi dersleri için öğrencilerimize problem çözme alışkanlığı kazandırmak amacıyla hazırlanmıştır. Ancak kitap içerisindeki özellikle ilk bölümlerdeki problemlerin Fen lisesi öğrencileri ve Matematik Olimpiyatlarına hazırlanan öğrencilerimize de faydalı olacağını düşünmekteyiz. Kitap içerisinde toplam oniki bölüm mevcuttur. Her bölüme konu ile ilgili temel tanım ve sonuçlara örnekler ile birlikte yer verilerek giriş yapılmış arkasından çözümlü problemlere geçilmiştir. Nihayet öğrencilerimizin kendilerini denemeleri için ek problemlere yer verilmiştir. Problem çözümlerinde ilk akla gelen çözümler sunulmuştur elbette farklı çözüm yolları da bulunabilecektir. Öğrencilerimize tavsiyemiz önce her bölüm için tanım ve sonuçları örnekler ile birlikte iyice özümsedikten sonra çözümlü problemlere geçmeleridir. Sonra da ek problemlere geçerek benzer sorularda kendilerini test etmeleridir. Kitabın el yazmalarını bilgisayar ortamına aktaran değerli öğrencimiz Elif Tüysüz’e teşekkür ederiz. Son olarak kitap içeriğinde olması muhtemel hata ve eksikliklerden dolayı okuyucularımızın bizleri mazur görmesini diler gelebilecek eleştirilerden de memnunluk duyacağımızı belirtmek isteriz...
Kitabın tüm öğrencilerimize faydalı olması ümit ve temennisiyle…
Gürsel YEŞİLOT SEVİM YEŞİLOT HAZİRAN 2019
İÇİNDEKİLER
ÖNSÖZ
1. TÜMEVARIM VE BİNOM TEOREMİ
1.1 Matematiksel Tümevarım 8
1.2 Binom Teoremi 13
Çözümlü problemler 1 17
Problemler 1 35
2. BÖLÜNEBİLME
2.1 Bölme Algoritması 38
2.2 En Büyük Ortak Bölen 41
2.3 Euclid Algoritması 44
2.4 Lineer Diophant Denklemleri 47
Çözümlü Problemler 2 49
Problemler 2 68
3. ASAL SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ
3.1 Aritmetiğin Temel Teoremi 72
3.2 Eratosthenes Kalburu 74
3.3 Asal Sayıların Özellikleri 76
3.4 Sayılar Teorisinin Bazı Önemli İddiaları 77
3.5 Asal Sayıların Dağılımı 79
Çözümlü Problemler 3 81
Problemler 3 95
4. KONGRÜANS TEORİSİ
4.1 Kongrüansların Temel Özellikleri 98
4.2 Bölünebilme Testleri 101
4.3 Lineer Kongrüanslar 105
Çözümlü Problemler 4 112
Problemler 4 137
5. FERMAT VE WİLSON TEOREMLERİ
5.1 Fermat Teoremi 140
5.2 Wilson Teoremi 142
Çözümlü Problemler 5
143 Problemler 5 159
6. ARİTMETİK FONKSİYONLAR
6.1 ve Fonksiyonları 161
6.2 Möbius Fonksiyonu 166
6.3 Tamdeğer Fonksiyonu 169
Çözümlü Problemler 6 172
Problemler 6 196
7. EULER FONKSİYONU
7.1 Euler Fonksiyonu 200
7.2 Euler Teoremi 202
7.3 Euler Fonksiyonunun Özellikleri 204
Çözümlü Problemler 7 206
Problemler 7 228
8. İLKEL KÖKLER VE İNDEKSLER
8.1 Bir Tamsayının mod n ye göre Mertebesi 231
8.2 Asallar İçin İlkel Kökler 235
8.3 Birleşik Tamsayılar için İlkel Kökler 236
8.4 İndeksler 238
Çözümlü problemler 8 242
Problemler 8 276
9. KUADRATİK KALANLAR
9.1 Euler Kriteri 280
9.2 Legendre Sembolü 285
9.3 Kuadratik Karşılık Prensibi 293
9.4 Jakobi Sembolü 297
Çözümlü problemler 9 301
Problemler 9 348
10. BAZI ÖZEL SAYILAR
10.1 Mükemmel Sayılar 354
10.2 Mersenne Sayıları 357
10.3 Fermat Sayıları 360
10.4 Pisagor Üçlüleri 361
10.5 Fermat’ın Son Teoremi 365
Çözümlü Problemler 10 367
Problemler 10 382
11. KARE TOPLAMLARI
11.1 İki Kare Toplamları 384
11.2 Üç Kare Toplamları 389
11.3 Dört Kare Toplamları 390
Çözümlü problemler 11 393
Problemler 11 400
12. FİBONACCİ SAYILARI VE SÜREKLİ KESİRLER
12.1 Fibonacci Sayıları 401
12.2 Fibonacci Sayılarının Özellikleri 408
12.3 Sonlu Sürekli Kesirler 410
12.4 Sonsuz Sürekli Kesirler 421
12.5 Pell Denklemleri 428 6
Çözümlü Problemler 12A 435
Problemler 12A 441
Çözümlü Problemler 12B 443
Problemler 12B 467
KAYNAKLAR 469
